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Savitzky-Golay平滑滤波器的最小二乘拟合原理综述

鏃ユ湡;2019-09-28  鏉ユ簮锛毼粗  浣滆咃細admin

  Savitzky-Golay平滑滤波器的最小二乘拟合原理综述_信息与通信_工程科技_专业资料。DoI:10.3969/j.i8sn.100l-3824.2011.01.017 SaVitzky-Golay平滑滤波器的最小二乘拟合原理综述 蔡天净1”,唐瀚1 (1.重庆邮电大学通信与信息工程学

  DoI:10.3969/j.i8sn.100l-3824.2011.01.017 SaVitzky-Golay平滑滤波器的最小二乘拟合原理综述 蔡天净1”,唐瀚1 (1.重庆邮电大学通信与信息工程学院.重庆4∞065;2.中南大学数学科学与计算技术学院。湖南长沙4100r75) 摘要:介绍了Sa“tzky—Golay滤波器的推导方法——多项式的最小二乘拟合法及其推导过程,以及如何由Savitzky 和Gol且y提出的多项式卷积计算方法进行最小二秉拟合计算。对savitzky-Gohy滤波器的二维算法进行了简单介 绍,对其一维和二维的MATLAB代码进行了分析处理。并将s吖itzky—Go蛔滤波器同其他低通滤波器进行了简单比 较。简要说明了其优势以及一些应用方向。 关键词:嘶tzl【y?GoLBy滤波器;数据平滑;多项式最小二来拟舍;卷积 O 引 言 1 1.1 Sa订tzky-Golay滤波器算法及推导 最小二乘法拟合与sa、ri乜时-Golay算法的导出 在平面坐标系中,用一条曲线来拟合一组数 Savitzky.Golay滤波器是一种特殊的低通滤波 器,又称Savitzy.Golay平滑器。低通滤波器的明显 用途是平滑噪声数据,噪声是用来描述所观察现象 提取信息中附加的不易区别的任意错误,而数据平 滑能消除所有带有较大误差障碍的数据点,或者从 图形中作出初步而又粗糙的简单参数估算。 Savitzky-Gday滤波器最初由Savitzky A和G杌 llIy 据,不妨假设这条曲线,当每一个点的横坐标代入这个曲线方程后, 所得的值与该点的纵坐标之差的平方之和最小时, 这条曲线的拟合度最高,从而可以确定所有的系数 口。(i=0,l,2,3,4)。 如图l所示,有9个数据点被在左边的括号包 住,如果这些点均在一条曲线附近,则能近似地被 所示的能描述这条曲线的方程所表示,然后就可以 根据数值计算方法用具体的过程把所有的系数 戈(i)确定出来。将中间点的横坐标代回到方程中, 得到图中圆圈所表示的点,用这个点代替原来的 点。这个过程中,获得的该点值的大小是在最小二 乘法和这样一组观察数据点基础上的最佳拟合。这 一过程可以对有9个数据点的每一组数重复进行,每 进行一次就去掉最左边的一个点然后加上最右边的 一个点,一直到最右边的区域都确定出来。通常来 说,每一组9个点确定的曲线】。 现讨论由Savtzky和Golay导出的方法。设一组 数据为髫(i),i的取值为2m+1个连续的整值,即f =一m,…,O,…,m。现构造一个n阶多项式 (厅≤2m+1)来拟合这一组数据 M于1964年提出,被广泛地运用于数据流平滑 除噪,是一种在时域内基于多项式,通过移动窗口 利用最小二乘法进行最佳拟合的方法。这是一种 直接处理来自时间域内数据平滑问题的方法,而不 是像通常的滤波器那样先在频域中定义特性后再 转换到时间域。通过这种方法,计算机的唯一功能 就是充当一个平滑噪声起伏的滤波器并尽量保证 原始数据的不失真。在这个过程中,计算机只需运 行相对小型的程序,减少了对电脑内存和数据处理 能力的要求,因此这种方法相对来说更加简单、快 速,而且相对于其他类似的平均方法而言,这种方 法更能保留相对极大值、极小值和宽度等分布 特性…。 收稿日期:2010羽-19 一63— 万方数据 所以,只有当r+I|}为偶数时,才能存在f=∑h &…r=0,1,2…n的表达形式‘∞1。 总的来说,当n和s均为偶数或者n和s均为奇 数时有 6。=6(州), 全部求出,分析可得 Z li:o 2 (8) 在实际应用中,往往并不需要把系数6柚,6扪…6。 6加2口,10 = ; 图1 9点表示的滑动平均多项式 誓I dZ di2 k ● O Z=∑6以产=6神+6。Ii+6J|2i2+…6。P(1) ^=O = = 26以 ,L 9 、, O 设点的误差平方和是 E=∑M一茗(i)]2= ∑[∑6以r一髫(i)]2 为便E最小,ⅡJ令E对各系数的导效力u,即 (2) 警l u‘ =啪。=口。 li=0 即S 16。=口。。 Savitzky和Golay使用了一种简单的多项式卷 积方法,并制定了卷积系数表心】,通过使用卷积系 蓑_o,r-0’l’2,…,n 得 (3) 数表中的卷积系数来计算出系数%,6扪…6。的大 小,方便而且迅速。 例如,用1个四次多项式Z=6棚+6。li+6砣产+ 薏=彘{i奎【弘扎圳,】2)= 2i封毫¨‘叫吣= O,r=0,l,…,n 即 6以i3+6科,来拟合9个点,先使用表求6砷。如表l 所示,找到表l中9个点对应的一列系数为15,一55, 30,135,179,135,30,一55,15,对应的分母为429。 (4) 表1 Sa、ri乜ky-GoIay卷积系数表 ‘=O ∑6以∑产” =∑茗(彬 i=一m (5) 令 f=∑茗(i), 1 。 s¨=如” ”■ J bE=∑hs¨(6) b。 给定需要拟合的单边点数m,多项式的阶次n及待拟 合的数据茹(一m),…,互(0),…,茗(m),则可求出E, 将&+,代入式C=∑6。&+,中,系数%,6扪…,6。 就可求出,因此多项式Z可以确定。 由于r+矗是奇数时有 设多项式拟合的9个数据值的大小分别为y4, (7) y一,,y一2,y—I,yo,yI,扎,乃,儿 S“=∑p=o 则有 万方数据 %2————————————面r—————————一 6柏=并 口42,口们,口“的大,J、o 又 15,,_4一研_3+30y.2+l研.I+l‘‰+l研l+巩一龇+l钆 (10) 1 菇t … 硝 ; … 髫: ; ; 曰= l ; 甄 … 《 ; … 菇? ; 参考以上方法利用卷积系数裂21可分别求得吼。, ; l ; 钆 … 《 … 菇: 口=(口o,…%,…口。)T b 2舡=署 Bn=g …) :专曰1曰口=口79 6心=莽几=并 则可求得6扪6J12,6柏,6一的大小。 使用卷积系数表时,先根据所求系数6“找到相 应的表,每一个表中都有一个Ai形式的标识,其中i 表示拟合多项式权数,_『表示导数的阶数,找到相应 的表后,则根据拟合需拟合的点的个数查表确定其 卷积系数以及分母大小‘21。 1.2一维算法实现 Savitzky?Golay方法存在一个主要的缺点,即这 种计算方法截断了左右两端各m个点,这对于在两 端为零值的大量光谱来说影响不大,但是对于在两 端有极限值的数据组,该算法是不适用的。 事实上如果进行一个规范的最小二乘运算,产 生出相应的系数,用来算前m个点中任何一个点的 拟合都比计算中间的那个点简单。这种方法被 Kh肌采用并使用矩阵方程进行全最小二乘拟合,但 是这样一来就失去了Savitzky-Golay方法的最大优 警=熹尚叩沁 譬≤:s(口t口)一-口■ j口=(曰’口)-1879 s=(0’...c:,气半,…—玎沁,… 尚…) (n—c)!一 , 令矽=s(口7剐。187,这样,y便是一个矢量, 这个矢量与样本矢量g点乘的结果就是菇处的c阶 导数‘51。 接下来应用Savitzky?Golay滤波器处理一个数 据长度为3l的信号.程序代码及结果如图2所示。 势——即计算简便、迅速【4】。 仍然构造一个n阶多项式 以菇)=∑%矿 (12) 令第i个数的横坐标为髫;(0≤i≤s—1),同时令 菇。=0以简化参考,并且令它的值的大小为歌,在 对口。的求解过程中从简化了最小二乘的程度上优 化了以名。)对反的拟合 8‘=八茗i)一gi 图2利用SaVitzky-Golay滤波器处理信号对比 1.3二维算法实现 Savitzky?G0lay滤波器对二维图像的处理同样 适用,此时可以用一个二维多项式来拟合图像的二 维区域,对图像进行平滑处理或者数字分化【5引。 (13) 构造一个n阶多项式 n ^‘口 p=∑占; 孚=o,o≤f≤n d口j 用如下的方式进行伪转置 ,(髫‘)2 gI 火菇,),)=∑∑%矿广 则关于髫的m阶导数为 (14) 一65— 万方数据 盟一 孤“ 栅2 if眦哂n<6 ~∑~ ~∑。 石善丽叩卜”/ (i—m)!~“ 7 柏03 nag_c伽phIlg=O; 加04 end 关于y的m阶导数为 柏05 雾=塞霉书耐∥广 假定要平滑数据或分化一个7×7的图像块,图 像块数据d(i)和它在坐标字中的位置如表2所示。 表2图像块数据d(i)和它在坐标系中的位置 舢d=O: 加07 end if岫<5 ifl删唔in<4 ny=l; 釉8 椰09 堋110 end 椰ll if腿rgin<3 扎—j——j——■——■——1 —3 棚12强=l: 槲013 end d(O) d(7) ; d(35) d(42) d(1) d(8) i … … d(5) d(12) ; d(6) d(13) i 一2 ; 2 3 峁014[x,y]=meshgrid(x,y); 加15[1y,l】【]=si∞(x); 柏16讧胍>k一1¨ny>ly一1 加117 d(36) d(43) … … d(40) d(47) d(41) d(48) e删 (侧yn枷al o陆r伽la弹!’; if d>IⅨ 表2中:d(i)是像素值,列向量d代表表2所 有的数据,即 d=(d(0),d(1),…d(48))1 假定要用1个二维三次多项式来拟合这些数 据,多项式可设为 d(i)一以石‘,,,;)= 口∞+口lo髫i+口01),‘+ #018 end 柏19 靓o e聊 (di虢陀Tniati∞order t∞large!,; 椰2l end 纰2 妣3 加25 x=x(:); y=y(:); 柏24 A=[]; 口∞茗;+口lI石l,,‘+402费+ 4加髫;+口2lx:yi+口12菇iZ+4∞y:+ 躺for + if nag-colJpling kx=II】【:一l:0 4柏石:+口3I髫;,,‘+口22戈;Z+413石:),; (15) 4供Z 坐标。 建立矩阵方程 加27 I}028 for ky=ny:一l:O A=[A x.‘kx.?y.‘ky]; 蜘凹end 加30 end 式(15)中:量‘/的系数是口#;(聋i,儿)是d(i)的像素 棚3l el∞ 加32 for k=瓜:一l:0 朋=d 其中: h ‰ (16) 露 … 棚33 A=[AI.^k]; 棚34 end 《 ‰yo 蠢 砖 《 …记、 柏35 f撕k=n丫:一l:l 工= ? l 专 毛} 耄 专 ‘;。 笔 { ; i i i ; : i ; ; ‰y鹄五ln‰五磊…五五…矗J 口是多项式系数矢量,4=(口∞,口lo,口ol,口∞,口II’口∞, 口∞,…,口∞,口柏,…,口舛)1 则有 口=(茗’茗)一1鼻7d 接下来应用Savitzl【y-Gohy滤波器处理一个二维图 像信号 。:‘薯} i 和6 A=[A y.‘l【]; ;l 舶37 eIld 栩D38 erId 椰39 h=inv(A’?A)?A’ 椰40 弹04l if nag∞updjIlg h=h((nx+l—d)?(ny+1),:)5 爿042 else ■043 h=h(吡+l—d,:); 蔫)44 eIld 掸D45 h=瞄hape(h,ly,lx); 釉l如删嫡佣h。 S啦d(x,y,呱。ny。d.n玛删曲鸣) 柏46 h=prod(1:d)?h; 输入 万方数据 S&_2d(一3:3,一4:4,2,3,2,1) 移动平均滤波器是通过输入信号的一些点来 产生输出信号中数据点的方法。这是一个需要重 复的过程,因此选肘个点为移动窗口时可采用如下 即可得结果 鲫8 2 一O.OlO 8 0.0000 —0.004 3 0.000 O O.006 5 o.0000 O.008 7 O.006 5 —0.0Q58 一o.012 l 0.000 O 算法得到数据集的平均值【8 J。 一0.010 8 0.000 0 0.0a7 2 0.00r7 2 一o.004 3 O.000 0 0.027 8 O.020 l O.020 l —o.016 l—o.012 l 一0.016 7 0.0000 0.027 8 o.027 8 0.000 O 一o-004 3 O.008 7 一o.0c12 3 —o.018 2 o.0000 o.020 l O.0:20 l 0.000 0 0.006 5 O.000 0 一o.0167 舻I摹∑∥>孚且…一半 LO 0.0000 一o.018 2 o.0凹8 o.0000 一o.016 7 o.∞04 o.0304 o.0000 —o.012 l 一O.006 8 0.006 5 其他 (18) 一o.0泓3 —0.016 7 一o.022 3 —0.012 l o.0000 式(18)中:S川是输出信号;,,i是输出信号;肘是移 动窗口中的点数;Ⅳ是数据点总数。 作为一种替代,输入信号点可以选择围绕输出 点对称,如果这样的话,肘就必须是奇数,用方程表 示为 0.000 0 0.00r7 2 —o.016 l —0.004 3 0.000 0 O.00r7 2 0.000 O —0.010 8 一0.010 8。 2分析讨论 2.1 sa、ritz时-Golay滤波器与其它低通滤波器滤波 特性的对比 舻f毕。>等且…一竽 L0 2.1.1 savitzky-Golay滤波器与Butterwonh滤波器 其他 (19) Butttenvonh滤波器被广泛使用并以其最大平坦的 特点而闻名,它是大小能根据方程计算的低通类型。 Savitzky-G0lay与移动平均滤波器的比较如图5 所示。 H(jtc,)12=——b l+f竺1 1 、∞c, ∞。=2以 理想低通滤波器。 (17) 级数n越高,ButteⅢonh滤波器特性越接近于 如图3所示。一至五阶(图中编号1.5)巴特沃 斯低通滤波器频率响应曲线展示了一阶至五阶巴 特沃斯低通滤波器的频率响应曲线。可见阶数n越 高,其幅频特性越好,低频检测信号保真度越高"J。 Savitzky-Golay滤波器与Butterwonh滤波器的 比较如图4所示。 。 (h)巴特沃斯滤波结果 瑚 枷 苗p,避馨 。忿\. (c)Savitzky—Golay滤波结果 枷 珈 瑚 O.0l 0.1 I 龄\ |\\ ‘\ 10 ‘\ 2.2 l∞ 图4 savitzky-Golay与Butterworm滤波器的比较 Savitzky-Golay滤波器的优点 Savitzky?Golay滤波器有如下几大优点: 1)利用最小二乘的多项式拟合方法非常清晰 l\ f丫\ f¨ 频率,r“‘“ 易懂,并且在计算上来说,多项式卷积的操作比最 小二乘的计算可操作性更强; 2)滤波系数只需要在对应的卷积系数表中进 行查找,很容易获得; 圈3一至五阶巴特沃斯低通滤波器频率响应曲线 Savitzky-Golay滤波器与移动平均滤波器 一67一 万方数据 3)savitzky—Golay滤波器可以有任意的长度,因 此有利于采样频率通常很低的生物学或者生物力 学的数据处理‘91。 算方法来计算滤波系数,这种方法简单易懂且计算简 便、迅速,可操作性非常强。Savitzky.Golay滤波器的 最初计算方法有一定的局限性,会导致部分数据丢 失,但后人对该方法进行了多次改进和完善¨4。,并 且拓展到二维甚至多维的应用【15。16 J,在高光谱分 析,优化生物数据图边缘等领域的应用也有一定的 研究成果,是一种实用性很强,除噪效果非常好的 滤波器。 参考文献: [1]wIl(IPEDIA.savitzky Golay smootIIiIIg filter[EB/oL]. (b)巴特沃斯滤波结果 (20loml-15)[20lo旬2一15].http:∥en.硒kipedia. org/wik∥Savitzky—Golay—smoothing—filter. [2】 SAVI,IZKY A,GOLAY M 埴on of dat8 J.SmootIIiIlg粕d dⅢ每陀ntia. by simplified le鹊tsqIlar∞p砌:edu陀8[J]. (c)跏itzky—C0lay滤波结果 [3] 图5 Anal”ical Chemistry,1964(7):1627-1639. H P,SAuL A 聊LuAM T,wILLAM H V。et 81.C++ savitzky?GoIay与移动平均滤波器的比较 数值算法[M].胡建伟,译.北京:电子工业出版社。 2005:117一130. 2.3实际应用状况 2.3.1修复损坏的传感器 可以使用由合适维数滤波器产生的平滑量代 替传感器中损坏的位置,以此来做一个最好的估 测,同时可以忽略损坏的元素来计算空间导数。 2.3.2图像的金字塔模型构建和多栅极问题 用于采样图像为多尺度分析建立分辨率金字塔 【4] GORRY P A.Geneml le鹤卜呷l蝴sm∞thiIlg锄d di雎r- 伽tiati∞by tlle convoluti∞(Savitzl【y?G0hy)[J].Am_ lytical CheIIlis田,1990(3):570-573. [5]THORNLEY Golay kerrlels D J.Ani∞t卦叩ic multidimemional S吖itzky for sm∞thing,dⅢ蕊砸atiml船d rec∞- g咖ction[J】. (7):1123-1127. Dep砒mental‰hIlical Repons,2006 已经使用广泛,但如果同时使用savitzl【y.叫ay方法, 这个过程可以有效地扩展成包括限制极数的多栅极 高维问题。网格几何形态不仅仅只是矩形,它也可能 是基于三角形的,只要它们能在这个区域上形成一个 重复的图案,从而能够被平滑、分化或采样。 2.3.3时间序列问题 可以以平面直角坐标系和时间建立一系列的 图像模型,图形中一块正方形的区域是最普通的, 除非有强制性的原因去采用另外的外貌或形状,而 且可能会用了3个时间点和一个空间的立体模型来 故居边缘探测,以及使用一个线性的或者时域模型 来呈现两幅画之间极小的变化‘£她13】。 [6]l汛Ul唧J.s耐乜崎-GoLay Fme玛h 2D IrIm8瞄.[Ⅱy0L]. (卸lJ呕捌)[∞lm位-15].http:∥嘲髓rch.面cl璐硪.伽n/ en-璐/啊/people/jcb硼m/s日vG0l/S吖(猢.hhlfL [7] NAcHAIYAPHuM K,suJITJORN S,RuGMAI S.A- da砸ve wiener mter b昭ed n哪erical filter witlI蚰印pIi- cati∞to b锄p∞ition morIit耐Ilg[J].wse够恤ms们- 60船∞eIechDnics,2008(2):40-52. [8]GuINON J L,0RTEGA E,AN’IuN J G,et a1.Moving Avemge蚰d savitzl【y-GoLay sm∞tlIiIlg[EB/0L】.(瑚6? 10一19)[20lo.10-20】.h呻:∥www.咖icmrI瑚h.删吡/ 20Srr啪tll- An5一sG% 20鼬ng/Usin睁20sG% Digital ing.h岫. [9]uJ0 Jw,YlNGK,HEP,d a1.nDpefti荡0f&“吐y.孙 lay digital删白帅幽t哪. 3结论 0L】.(加06-lm∞)[20lmlm加].hnp:∥www.髓.嘞. edu/一pIle/Iie嘲眈h/Digit8l跚p岬眦鲤iIIg毯.p越 rias,Abril—JulIio,2007(7):62—67. si8nal№i唱[EB/ 蜘tzky?叫ay滤波器是一种时域内的低通滤波 器,它的基本思路是基于多项式,通过移动窗口利用 最小二乘法对数据进行最佳拟合,并且它的最初提出 者Sa_vitzI【y和Gohy提供了一种利用多项式卷积的计 [10]BAKKAu S.usi嵋强“乜ky一伊kIy ni石唱删!thod协。砸一 mi∞驰由傥pl-∞phate dep∞it dij栅rbjmo∞[J].IIl萨IIie. (下转第82页) 万方数据 大的提高,算法效果理想。 4.2.2手写测试 把算法程序封装成一个单独的函数供驱动程 序调用,结合LCD画点函数在PC机上交叉编译后, 动态加载到ARM9开发板上。当触摸笔在屏上滑 过时,笔迹在液晶屏上显示出来。 图3是触摸笔在屏上书写汉字时,液晶屏上显 示效果的截图。图3(8)是未做数据处理时字体效 果,飞点现象明显,图3(b)是经过消抖滤波算法处 理后的效果,线条更趋向于平滑,飞点基本消除。 动问题,从软硬件设计角度提出了切实可行的解决 方案,增强了触摸屏的抗干扰性能,提高了触摸屏 定位识别精度。 参考文献: [1] 蔡海蛟。危峻.便携式红外相机中触摸屏原理与应用 [J].计算机工程与设计,2008,29(7):1808.1813. [2] 史蕊,蔡浩,王振。等.基于S3c44舯x+Ⅲ∥0s.Il的触 摸屏设计[J].电测与仪表,2007,44(4舛):50-53. [3] 张毅,王海涛.基于s3C2410A的wincE5.O下触摸屏 驱动的实现[J].重庆邮电大学学报:自然科学版。 2008,20(6):742-745. [4] 张颖超,杨乐,叶小玲,等.基于“n呱的触摸屏[J].仪 表技术与传感器,2008(2):7l-73. [5] 李海青,李树广.windows CE.NET下触摸屏操作系统 优化与研究[J].测控技术,2009,28(4):9l舭. [6] 张毅。王海涛.基于S3C24lOA的wincE5.O下触摸屏 驱动的实现[J].重庆邮电大学学报:自然科学版, 圈3触摸屏数据处理效果对比图 2008,20(16):742.745. 作者简介: 陈勇(1963一),男,博士,教授,主要研究方向为智能 5 结束语 结合实际的硬件平台,详细地介绍了基于pC/ 仪器仪表和自动化装置与系统,E-nlail:chenyoIlg@cqIIpt. edu。∞. OS.II操作系统下触摸屏驱动程序的开发流程‘6|。 同时,针对当前触摸屏数据采样中存在的飞点和抖 《上接第68页) [11]ARVOR D,JONATHAN M,MEIREu正S pads佃0f mllltitempoml MODIs?EVI M,et a1.Com? algo- 15)[20lO—lOj20].http:∥ieeexplo他.ie∞.oq∥st姗p/ 8m∞批ng st锄p.j8p?唧umber=0428859r7. [15] RUFFIN rith吣锄d i协咖tributi伽to cmp?mnitorirIg[EB/0L】. C,ⅪNG R L.1k锄alysist of hype璐pecn寸 (2008旬l_20)[20lO.10珈].hnp:∥i∞麟pl呲.i雠. o学7starnp/幽吼p.jsp?锄umber=04779155. [12]HARGrI’rAI s.SBvi乜d【y—Golay da组岫ing sa“tzky-golay niteriIlg[EB/0L].(1999旬l- 01)[2010-lO-20].http:∥ww.雠.眦st砒e.edu/一出 ing/dowIIl∞ds/B撕bd【y%2090hy%202.p越 [16] CHINRUNGRUENG le够卜8q1唧惜叫yIl舛dal filters in EcG si罢乒lal pr∞∞sing[EB/0L】.(2005旬l旬1) C,’IDONKUM P.Real?time sp∞kk [2010-lO珈】.http:∥iee既plo他.ie∞.o影xpVabs— a11.j叩?咖umber=1588216. [13】zHA0 reducti锄舳d coher七IIoe enhancement 0f uI的so吼d ima- fil钯m g鹪bllsed∞mi】【tu弛0f P,et a1.C∞p aIli蜘pic S撕tzky?G0lay d砒e蚓j眦d∞based∞NDⅥderived丘锄tlIe嗍. structed MODIS daily H,YANG Z w,ⅨL phe∞109y [EB/oL].(2004-lo.20)[20lo.10珈】.hnp:∥ie嗽? plom.ie∞.or吕/棚p/8taInp.j叩?tp=&姗umber= su血∞栅∞t蚰∞data[EB/0L】. (2009躬-15)【2010?10瑚】.http:∥i嗍pl啦.i僦. 呻∥sh岫p/s岫np.jsp?锄umb盱=05293522. [14】wAYT H 1466820商l鲫怖=iIlst. 作者简介: J,KHAN T R.Int删鲕tzky—G0埘脚ter h咖岫e雠taylor鲁eri∞a刚眦h[EB/0L】.(2007-lo- 为通信工程。E-删Iil:aIld唧ya@yaI.∞.嗍.∞。 蔡天净(1990一)。女,安徽安庆人,本科,主要研究方向 万方数据 Savitzky-Golay平滑滤波器的最小二乘拟合原理综述 作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 蔡天净, 唐瀚 蔡天净(重庆邮电大学,通信与信息工程学院,重庆400065;中南大学,数学科学与计算技术学 院,湖南,长沙410075), 唐瀚(重庆邮电大学,通信与信息工程学院,重庆400065) 数字通信 DIGITAL COMMUNICATION 2011,38(1) 本文链接:


 
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